Sistemas de desigualdades

Cuando la respuesta es toda una región

A6 terminó con dos rectas coincidiendo en exactamente un punto. Pero las restricciones reales rara vez dicen exactamente. Estás armando una sesión de estudio: los snacks cuestan $$2$, las bebidas $$3$, y puedes gastar como máximo $$12$ — eso es $2x + 3y \le 12$. Necesitas al menos $4$ artículos para que nadie se quede sin nada — eso es $x + y \ge 4$. ¿Puedes comprar $3$ snacks y $2$ bebidas? Corre las dos pruebas: $2(3) + 3(2) = 12 \le 12$ ✓ (llegar justo al presupuesto está permitido — como máximo incluye la frontera) y $3 + 2 = 5 \ge 4$ ✓. Así que $(3, 2)$ sirve. También $(4, 1)$. Y muchos otros — y ese es el punto: afloja los signos igual y la solución deja de ser un punto. Se vuelve una región.

Una desigualdad sombrea medio plano

Ya viste este movimiento antes, una dimensión más abajo. En A2, $x \le 5$ no era un punto en la recta numérica — era una semirrecta sombreada, con un círculo en la frontera que decía si el $5$ mismo contaba. Con dos variables, $2x + 3y \le 12$ no es una recta — es un semiplano sombreado, y la recta de frontera (la versión con $=$, directo de A4) hace el papel del círculo. Mira todo el método sobre la restricción del presupuesto, usando solo movimientos que ya tienes:

Ese es todo el método: despeja $y$, dibuja la frontera continua ($\le$, $\ge$) o punteada ($\lt$, $\gt$), sombrea el lado que nombra la forma despejada, y confirma con un punto de prueba. Un signo estricto lleva una frontera punteada por la misma razón que A2 dibujaba un círculo abierto: el borde mismo es el único conjunto de puntos no invitado.

Dos pruebas, un solape

Un sistema de desigualdades corre la misma prueba de pertenencia que enseñó A6 — solo que dos veces, conservando únicamente los puntos que pasan las dos. Grafica la segunda restricción igual: $x + y \ge 4$ se despeja a $y \ge -x + 4$ en un solo movimiento (el coeficiente de $y$ ya es $1$ — no hay nada que dividir). Frontera continua, sombrea arriba. Y esta vez el punto de prueba cuenta la historia opuesta: $(0, 0)$ da $0 \ge 4$ — falso — así que el sombreado tiene que dejar el origen fuera. Un punto de prueba que falla informa tanto como uno que pasa.

Pon los dos sombreados en una cuadrícula y la respuesta se dibuja sola: la región solución es donde los dos sombreados se apilan — todo punto de la cuña doblemente sombreada pasa las dos pruebas, infinitos de ellos.

El resolutor abre con el sistema de snacks que acabas de trabajar. Antes de leer sus pasos, predice: qué lado de cada recta se sombrea, ¿y $(0,0)$ pasa cada prueba? Luego prueba la ficha $2x - y < 4$ — decide qué lado sombrea antes de mirar. Si adivinaste “abajo, porque dice menor que”, observa el paso de dividir con cuidado. Y prueba $y > 2x + 3$ con $y < 2x - 1$: fronteras paralelas cuyos sombreados se dan la espalda — la versión de dos variables de “sin solución”.

Pasea un punto por la región

Arrastra el punto de prueba directo hacia abajo por la cuña y sal por el fondo: exactamente una marca cambia de ✓ a ✗ al cruzar una frontera — el borde de una región es donde una prueba cambia de opinión. Luego presiona de espaldas — sin solución y busca un lugar con dos ✓: no hay ninguno. Ahora arrastra el asa $b$ de la recta de arriba por debajo de la otra recta y mira cómo se abre una franja de soluciones — “sin solución” nunca fue por las pendientes paralelas; es por los sombreados que se dan la espalda con un hueco. Por último, presiona un punto en la frontera: el punto está exactamente sobre una recta punteada, así que falla — ahora cambia ese $\lt$ por un $\le$ y mira el veredicto darse vuelta sin cambio geométrico alguno.

De dónde vienen las intuiciones equivocadas

“Menor que significa sombrear abajo” se siente correcto porque normalmente lo es — cuando el coeficiente de $y$ es positivo. Pero el lado lo nombra la forma despejada, y despejar $2x - y < 4$ para $y$ significa dividir entre $-1$: se dispara la regla de inversión de A2, el $\lt$ se vuelve $\gt$, y el sombreado va arriba. Ante la duda, el punto de prueba nunca miente: comprueba la desigualdad original, con inversión y todo.

“Fronteras paralelas significa sin solución” es un reflejo de A6 que vale la pena desaprender aquí. Sombreados paralelos que se dan la espalda dan sin solución — pero sombreados paralelos que se apuntan uno al otro dejan toda una franja entre las rectas. El paralelismo por sí solo no decide nada; las direcciones del sombreado sí. Y fíjate en lo que desapareció: ningún sistema de desigualdades tiene exactamente una solución que buscar — cualquier región con área alberga infinitos puntos, así que la pregunta del SAT es siempre “¿ninguna, o infinitas?”.

Por último, la trampa de la media respuesta, heredada directo de A6: estar en un solo semiplano sombreado no significa nada. Un punto en el borde punteado de una región, o bien adentro de un solo sombreado, igual falla el sistema — pertenecer significa pasar las dos pruebas, siempre.

Lo único que hay que recordar

Una desigualdad de dos variables sombrea medio plano — frontera continua o punteada por la misma lógica de abierto/cerrado de A2, lado elegido por la forma despejada (¡inversión al dividir por un negativo!), verificada por un punto de prueba. Un sistema conserva solo el solape: la región donde pasa toda prueba. Los puntos están dentro o fuera de a una prueba de pertenencia por vez — y los casos límite viven exactamente sobre las rectas de frontera.

Graficar una desigualdad: los cuatro movimientos

El conjunto solución de un sistema

Corre el sombreado de cada desigualdad en una cuadrícula; la región solución es el solape — los puntos que pasan todas las pruebas de pertenencia a la vez.

Leer un punto contra un sistema

Para decidir si $(x_0, y_0)$ es solución: sustitúyelo en cada desigualdad y evalúa con exactitud. Las dos verdaderas → dentro de la región. Alguna falsa → fuera. Si cae exactamente sobre una frontera, decide el tipo de signo: $\le$/$\ge$ lo cuenta, $\lt$/$\gt$ no.