Ecuaciones lineales con una variable

Haz funcionar la máquina al revés

En F8 construiste una máquina de facturas de móvil: a $$20$ al mes más $$3$ por gigabyte, la factura es $20 + 3g$. Le das un consumo y sale una factura. Ahora dale la vuelta al problema: la factura llega en $$35$ — ¿cuántos gigabytes usaste? Esta vez conoces la salida y quieres la entrada, y escribir eso te da tu primera ecuación:

$20 + 3g = 35$

Resolverla significa encontrar el valor de $g$ que hace que los dos lados sean de verdad iguales. Toda la maquinaria más famosa del álgebra — este módulo — existe para responder preguntas con esa forma.

La única regla: mantén la balanza equilibrada

Una ecuación es una balanza que cuelga perfectamente nivelada: $20 + 3g$ está en un platillo, $35$ en el otro. Puedes hacerle a la balanza cualquier cosa que la mantenga nivelada, lo que significa: lo que le haces a un lado se lo tienes que hacer al otro. Suma $3$ a los dos platillos — sigue nivelada. Suma $3$ a un solo platillo y la balanza se inclina; $5 + 3 \ne 5$. Todo movimiento legal al resolver no es más que esta regla aplicada con un propósito.

Así que vamos a encontrar los gigabytes, un movimiento equilibrado a la vez:

Fíjate en el orden del deshacer. Al construir la factura, la máquina multiplicó primero y sumó después (la escalera de F1). Para liberar la $g$, deshiciste primero la suma y después la multiplicación — operaciones inversas, en orden inverso, como quitarse los zapatos antes que los calcetines:

“Pásalo al otro lado” — lo que de verdad está pasando

Vas a oír que resolver es pasar términos: “el $+4$ pasa al otro lado y se vuelve $-4$”. Ese atajo está bien una vez que sabes lo que esconde, y es peligroso antes. Nada pasa. En $3x + 4 = 19$ restas $4$ a ambos lados; a la izquierda se cancela y desaparece, a la derecha aflora como $19 - 4$. El “cambio de signo” no es una regla sobre cruzar el signo igual — es el resto visible de un movimiento hecho a ambos lados. Quien lo memoriza como una teletransportación acaba cambiando un signo que no debía cambiar (o arrastrando un coeficiente como si funcionara igual). Ante la duda, vuelve a la balanza: nombra la operación y hazla en los dos platillos.

Variables en ambos lados

$5x + 4 = 2x + 19$ parece nuevo, pero $2x$ es una cantidad como cualquier otra — así que resta $2x$ a los dos platillos y desaparece de la derecha: $3x + 4 = 19$. A partir de ahí ya conoces el camino. (Reunir el término con $x$ más pequeño deja el coeficiente positivo, lo cual es más amable con tus signos.)

El resolutor abre justo con esa ecuación. Antes de leer cada paso, predice el movimiento: qué término con $x$ se reúne, qué se deshace primero y cuál es la $x$ final. Luego escribe una ecuación con paréntesis — por ejemplo $4 - 2(x - 3) = 8$ — y observa cómo las destrezas de F8 (¡distribuir, cuidado con el negativo!) se convierten en los movimientos de apertura al resolver.

Cuando la x desaparece: sin solución o infinitas

Prueba $3(x + 2) = 3x + 6$ en el resolutor, y después $2x + 5 = 2x + 1$. En ambos, los términos con $x$ se cancelan por completo — y lo que queda te dice en cuál de los casos extraños estás. $6 = 6$ es verdadero sea cual sea la $x$: los dos lados eran la misma máquina con otra ropa, así que todo número la resuelve — infinitas soluciones. $5 = 1$ es falso sea cual sea la $x$: los dos lados siempre se diferencian en exactamente $4$, así que ningún número puede reconciliarlos. Ninguno de los dos es un error — los dos son respuestas, y al SAT le encanta pedirte que las reconozcas.

Comprueba siempre

Sustituye tu respuesta en la ecuación original — no en una línea posterior, que ya puede arrastrar tu error — y confirma que los dos lados caen en el mismo número. Es el mismo detector de mentiras de cinco segundos de F8, y atrapa casi todos los descuidos. Construye el hábito en la pestaña Comprobar una solución.

Lo único que hay que recordar

Una ecuación es una balanza nivelada, y resolver es deshacer: pélale a la $x$ todo lo que lleva encima con operaciones inversas, en orden inverso al de las operaciones, haciendo cada movimiento en ambos lados. “Pasar términos” no es nunca otra cosa que un movimiento en ambos lados con un apodo — y una respuesta sustituida de vuelta jamás miente.

Qué es una ecuación lineal

Una ecuación dice que dos cosas son iguales: un lado izquierdo y un lado derecho unidos por $=$. Una ecuación lineal tiene la variable solo elevada a la primera potencia — nada de $x^2$, nada de $x$ en un denominador. Resolver es encontrar el valor de $x$ que hace que los dos lados sean de verdad iguales.

La estrategia (siempre la misma)

Deshaz la jerarquía de operaciones al revés para liberar la $x$:

1. Quita los paréntesis — distribuye.
2. Quita las fracciones — multiplica cada término por el denominador común (opcional, pero ordena).
3. Reúne los términos semejantes — todos los términos con $x$ a un lado, todas las constantes al otro.
4. Deshaz lo que se le hizo a la $x$ — resta/suma la constante y después divide entre el coeficiente.

Cada movimiento usa una operación inversa: la suma deshace la resta, la multiplicación deshace la división.

Ejemplo resuelto — dos pasos

$3x - 7 = 11$

Ejemplo resuelto — variables en ambos lados

Junta primero las $x$. Mueve el término con $x$ más pequeño para evitar un negativo si puedes.

$5x + 4 = 2x + 19$

Ejemplo resuelto — fracciones

Multiplica cada término por el denominador común para quitarlas.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = 2$

Dos respuestas especiales

A veces las $x$ se cancelan por completo. Mira lo que queda:

Al SAT le encanta preguntar “para qué valor esto no tiene solución / tiene infinitas soluciones” — reconocer estos casos vale puntos.

Comprueba siempre

Sustituye tu respuesta en la ecuación original. Si los dos lados coinciden, acertaste. Este único hábito atrapa casi todos los descuidos de aritmética.