Sistemas de ecuaciones

Dos máquinas, una entrada donde coinciden

A5 dejó dos planes de móvil lado a lado — $B(g) = 3g + 20$ y $L(g) = 5g + 10$ — y solo podía compararlos de a un gigabyte por vez: ¿es $B(4) < L(4)$? ($32$ contra $30$ — el plan más caro por giga gana en cuatro gigas.) Pero la pregunta de verdad nunca fue sobre cuatro gigabytes en particular. Fue ¿dónde cambia el ganador? Esa es una única entrada $g$ donde las dos máquinas dan la misma salida, y hallarla significa escribir las dos reglas a la vez:

$B(g) = 3g + 20 \qquad\qquad L(g) = 5g + 10$

Dos ecuaciones, consideradas juntas, son un sistema. Resolver un sistema significa hallar la entrada (o las entradas) que hacen verdadera cada ecuación al mismo tiempo — no una por una, las dos. A4 llamó a una ecuación de dos variables una prueba de pertenencia para puntos; un sistema solo corre dos pruebas de pertenencia sobre el mismo punto y conserva únicamente lo que pasa las dos.

El sistema más fácil ya está resuelto por ti

Aquí las dos reglas ya están resueltas para la misma salida, así que el sistema prácticamente escribe su propio primer movimiento: si $B(g)$ y $L(g)$ alguna vez son iguales, entonces sea lo que sean, son iguales entre sí.

En exactamente $5$ gigabytes los dos planes cuestan $$35$; por debajo de $5$, $L$ (la tasa más empinada) es más barato; por encima, gana $B$. Eso es la sustitución en su forma más limpia: dos expresiones para la misma salida, igualadas, resueltas con herramientas que ya tienes.

Sustitución cuando todavía no hay nada despejado

La mayoría de los sistemas no llegan pre-resueltos. $2x + y = 7$ y $x - y = 2$ igual esconden un único punto donde coinciden, pero ninguna ecuación está en la forma "$y = \ldots$". La sustitución igual funciona — solo despejas una variable primero. La segunda ecuación te da $x$ casi gratis: $x = y + 2$. Sustituye esa expresión donde sea que la primera ecuación tenga una $x$:

Elige siempre la variable que ya tenga coeficiente $1$ (o $-1$) para despejar — no cuesta fracciones ni trabajo extra.

Eliminación: dos balanzas niveladas, sumadas

A1 construyó el resolver sobre una regla: una ecuación es una balanza, y lo que le haces a un lado se lo tienes que hacer al otro. Un sistema te da dos balanzas niveladas a la vez — y aquí está el movimiento que la sustitución no te muestra: si la balanza uno está nivelada y la balanza dos está nivelada, apilar sus platillos mantiene el resultado nivelado. Suma lado izquierdo con lado izquierdo, lado derecho con lado derecho, y obtienes una tercera ecuación verdadera, gratis.

Eso solo sirve si una variable desaparece en el proceso, lo que pasa cuando sus coeficientes en las dos ecuaciones son iguales u opuestos. Toma $2x + 3y = 13$ y $2x - y = 1$: las dos tienen $2x$, así que restar lo cancela directamente.

Luego $2x + 3(3) = 13$ da $x = 2$ — el punto $(2, 3)$. Cuando los coeficientes no son ya iguales u opuestos, multiplica una o las dos ecuaciones enteras por una constante primero — legal por la misma razón de la balanza que dio A1: multiplicar los dos lados de una balanza nivelada por el mismo número la mantiene nivelada.

Predice primero: con el $2x + y = 7$ y $x - y = 2$ por defecto, adivina $(x, y)$ antes de leer los pasos — ya resolviste algo parecido arriba. Luego cambia el interruptor entre sustitución y eliminación en el mismo sistema: el mismo punto, distinto camino. Prueba la ficha que dice $x + 2y = 6$ y $2x + 4y = 20$ — parece que la segunda ecuación es solo la primera duplicada, pero revisa las constantes.

Graficarlo: donde las rectas de verdad se cruzan

Cada ecuación de un sistema es una recta (A4), así que un sistema son solo dos rectas en una cuadrícula, y la solución es dondequiera que se crucen físicamente. Esa imagen geométrica explica los tres resultados que puede producir el álgebra:

• Un cruce — pendientes distintas. El caso normal: una solución.
• Ningún cruce — misma pendiente, distinto corte: las rectas son paralelas, y el álgebra lo refleja exactamente como A1 te avisó que lo haría — cada variable se cancela y queda una afirmación falsa como $0 = 8$.
• Todos los puntos compartidos — misma pendiente y mismo corte: es la misma recta, dibujada dos veces. El álgebra otra vez cancela todo, pero cae en una afirmación verdadera como $0 = 0$ — infinitas soluciones.

Empieza en la ficha paralelas y predice: ¿arrastrar cualquiera de los cortes hará que estas dos rectas se encuentren alguna vez? (No — solo un cambio de pendiente puede.) Luego prueba la misma recta — fíjate en que las dos ecuaciones impresas en el panel de información son idénticas, no solo parecidas.

Ideas equivocadas que vale la pena nombrar

“La sustitución y la eliminación dan respuestas distintas” — no pueden. Las dos parten de las mismas dos afirmaciones verdaderas sobre $x$ e $y$; solo retiran una variable en distinto orden. Si tus dos métodos no coinciden, uno tiene un descuido de aritmética, no un sistema genuinamente distinto.

La eliminación esconde una trampa de signos. Restar una ecuación entera de otra significa cambiar el signo de cada término del lado que restas — no solo del primer término en el que cae tu ojo. $(2x + 3y) - (2x - y)$ no es $2x + 3y - 2x - y$: el $-y$ de la segunda ecuación también cambia, volviéndose $+y$, que es exactamente por qué las $y$ se suman en vez de desaparecer. Trata la ecuación restada como un solo bloque entre paréntesis y distribuye el menos por todo él, como A1 te enseñó a distribuir un negativo por unos paréntesis.

Resolver una sola variable y parar es la media respuesta más común de todas: la solución de un sistema es un punto, y reportar $x = 3$ sin también decir $y$ responde la mitad de la pregunta. Sustituye siempre de vuelta.

Por último, “sin solución” no es lo mismo que “una coordenada resulta ser $0$”. Un sistema de verdad no tiene solución solo cuando las rectas son estrictamente paralelas — nunca se tocan en ningún lugar de la cuadrícula infinita, no solo fuera de la ventanita que graficaste.

Lo único que hay que recordar

Un sistema son dos (o más) ecuaciones que tienen que ser verdaderas juntas; resolverlo significa hallar la entrada (o entradas) donde coinciden. La sustitución y la eliminación son dos caminos al mismo punto — elige el que deje menos aritmética — y el número de soluciones es en realidad una pregunta sobre dos rectas: cruzarse una vez, correr paralelas para siempre, o estar una encima de la otra.

Dos métodos, lado a lado

Los dos caen siempre en el mismo punto — elige el que cueste menos aritmética para el sistema que tengas delante.

Leer el número de soluciones en las rectas