Porcentajes

Por qué existen los porcentajes

Sacaste $43$ de $50$ en un examen y $17$ de $20$ en otro. ¿Cuál te salió mejor? Es genuinamente difícil decirlo — los todos son de tamaños distintos, así que los aciertos no se comparan directo. Pero reescala ambos a notas sobre $100$ y la niebla se levanta: $86$ contra $85$. Ese reescalado es toda la idea de un porcentaje: una regla común para partes de todos de distinto tamaño, para que cualquier cosa se compare con cualquier otra de un vistazo. Por eso las notas, las tasas de interés, los descuentos, las propinas y el indicador de batería hablan todos en porcentaje.

Un porcentaje es una fracción que ya conoces

Porcentaje significa “por cien”. Así que $30\%$ es simplemente $30$ de cada $100$ — y ya posees dos maneras de escribir eso. Desde F3, es la fracción $\tfrac{30}{100}$, que se simplifica a $\tfrac{3}{10}$. Desde F4, es el decimal $0.30$, porque dividir entre $100$ corre el punto dos lugares a la izquierda. Todo porcentaje es esas mismas tres cosas con distinta ropa, y cambiarse de ropa son dos saltos del punto decimal: porcentaje → decimal salta a la izquierda ($45\% = 0.45$), decimal → porcentaje salta a la derecha ($0.07 = 7\%$).

Antes de seguir, haz tres predicciones y compruébalas en la cuadrícula: escribe $7$ — ¿eso es $0.7$ o $0.07$ como decimal? Escribe $0.5$ — medio por ciento, que es mucho menos que un medio. Y escribe $150$ — a la cuadrícula se le acaban las casillas, pero al número no: un porcentaje por encima de $100$ solo significa más que un todo entero.

Tomar un porcentaje de un número

La cena costó $$80$ y el servicio estuvo excelente, así que quieres dejar el $35\%$ de propina. Nada de fórmulas todavía — constrúyelo con piezas que caben en la cabeza:

Ahora el atajo. En F3 viste que multiplicar es tomar una fracción de algo. “El $35\%$ de $80$” es exactamente esa frase: $\tfrac{35}{100} \times 80 = 0.35 \times 80 = 28$. La misma respuesta, una sola multiplicación — y esa es la regla general:

Un hábito que vale la pena nombrar: un porcentaje nunca es una cantidad por sí solo — siempre es un porcentaje de algo. El $25\%$ de un café y el $25\%$ de una casa son sumas de dinero salvajemente distintas. Hasta que no conoces la base $b$, "$25\%$" no tiene tamaño.

Prueba el $15\%$ de $60$ — pero predícelo primero con las anclas ($10\%$ es $6$, la mitad de eso es $3$…), y deja que el widget confirme y muestre el desglose.

Medir el cambio

Tus zapatillas favoritas pasaron de $$80$ a $$100$. El cambio bruto es $$20$ — pero ¿es un salto grande? Sobre una base de $$80$ es un cuarto de lo que había al inicio, así que es un aumento del $25\%$. Esa es la regla: compara el cambio con el valor original.

Y aquí está por qué el error clásico — dividir entre el valor nuevo — se siente tan natural: el número nuevo es el que tienes delante, y $\tfrac{20}{100} = 20\%$ sale más limpio que $\tfrac{20}{80}$. Pero míralo romperse: corre el mismo precio en reversa, de $$100$ a $$80$, y la caída es $\tfrac{20}{100} = 20\%$. La misma brecha de $$20$, distinto porcentaje — porque lo que cambió es el punto de partida desde el que mides. Una variación porcentual siempre responde “¿qué tan grande fue el movimiento comparado con donde empecé?”

Escribe $80 \to 100$, luego cámbialo a $100 \to 80$, y mira cómo los porcentajes de subida y bajada se niegan a coincidir.

El atajo del multiplicador

Esta es la idea que convierte los problemas de porcentajes en problemas de un solo paso. Después de un aumento del $20\%$ tienes todo lo que tenías más el $20\%$ de eso — es decir, el $120\%$, o $\times 1.20$ en una sola multiplicación. Una disminución del $20\%$ significa que conservas el $80\%$: $\times 0.80$. Toda variación porcentual es, en secreto, un multiplicador.

Apilar cambios

Una tienda sube los precios un $20\%$ y luego anuncia una oferta de ”$20\%$ de descuento”. ¿Volvemos al precio original? Desde luego lo parece — $+20$ y $-20$ se cancelan, ¿no? Predice dónde va a aterrizar la cadena de abajo, y luego mira:

$100 \to 120 \to 96$. La intuición de "$20 - 20 = 0$" falla porque los dos porcentajes se paran sobre bases distintas: el recorte del $20\%$ actúa sobre $120$, un número más grande, así que quita más de lo que la subida agregó. Las variaciones porcentuales nunca se suman — sus multiplicadores se multiplican: $1.20 \times 0.80 = 0.96$, una pérdida del $4\%$. Prueba $+50$ y luego $-50$ (peor: $\times 0.75$), y $+10$ y luego $+10$ (más que $+20\%$: $\times 1.21$).

Trabajar hacia atrás

Una chaqueta cuesta $$120$ después de un aumento del $20\%$. ¿Cuánto costaba antes? El movimiento tentador es quitarle el $20\%$ a $120$ y responder $$96$ — pero ahora puedes decir exactamente por qué falla: el $20\%$ se midió sobre el precio original, no sobre $120$. Piensa primero hacia adelante: $\text{original} \times 1.20 = 120$. Deshacer una multiplicación es dividir, así que el original es $120 \div 1.20 = 100$ dólares. Compruébalo: $100 \times 1.20 = 120$ ✓ — mientras que $96 \times 1.20 = 115.2$ ✗.

Alterna en el widget entre el método correcto y el equivocado y observa qué tan lejos aterrizan uno del otro a medida que crece el porcentaje.

Lo único que debes recordar

Porcentaje significa por cien — una fracción y un decimal con distinta ropa. A partir de ahí, toda pregunta de porcentajes es una pregunta de multiplicadores: el $p\%$ de $b$ es $\tfrac{p}{100} \times b$, un cambio del $p\%$ es una multiplicación por $1 \pm \tfrac{p}{100}$, y deshacer un cambio es dividir entre ese multiplicador. Y una variación porcentual siempre se mide contra donde empezaste.

Conversiones

Fórmulas

• Porcentaje de un número: $\dfrac{p}{100}\times b$
• Variación porcentual: $\dfrac{\text{final}-\text{inicial}}{\text{inicial}}\times100$
• Aplicar una variación: aumentar un $p\% \Rightarrow \times\left(1+\tfrac{p}{100}\right)$; disminuir $\Rightarrow \times\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$
• Deshacer una variación: divide el valor final entre ese multiplicador

Variación porcentual

Cambios apilados

Trabajar hacia atrás