Sistemas de inequações

Quando a resposta é toda uma região

A6 terminou com duas retas concordando em exatamente um ponto. Mas as restrições reais raramente dizem exatamente. Você está montando uma sessão de estudos: os salgadinhos custam $$2$, as bebidas $$3$, e você pode gastar no máximo $$12$ — isso é $2x + 3y \le 12$. Você precisa de pelo menos $4$ itens para ninguém ficar sem nada — isso é $x + y \ge 4$. Dá para comprar $3$ salgadinhos e $2$ bebidas? Rode os dois testes: $2(3) + 3(2) = 12 \le 12$ ✓ (bater no orçamento exato é permitido — no máximo inclui a fronteira) e $3 + 2 = 5 \ge 4$ ✓. Então $(3, 2)$ serve. $(4, 1)$ também. E muitos outros — e esse é o ponto: afrouxe os sinais de igual e a solução deixa de ser um ponto. Vira uma região.

Uma inequação sombreia meio plano

Você já viu esse movimento antes, uma dimensão abaixo. Em A2, $x \le 5$ não era um ponto na reta numérica — era uma semirreta sombreada, com uma bolinha na fronteira dizendo se o $5$ em si contava. Com duas variáveis, $2x + 3y \le 12$ não é uma reta — é um semiplano sombreado, e a reta de fronteira (a versão com $=$, direto de A4) faz o papel da bolinha. Veja o método inteiro na restrição do orçamento, usando só movimentos que você já tem:

Esse é o método inteiro: isole $y$, desenhe a fronteira contínua ($\le$, $\ge$) ou tracejada ($\lt$, $\gt$), sombreie o lado que a forma isolada nomeia, e confirme com um ponto de teste. Um sinal estrito ganha uma fronteira tracejada pela mesma razão que A2 desenhava uma bolinha aberta: a própria borda é o único conjunto de pontos que não foi convidado.

Dois testes, uma sobreposição

Um sistema de inequações roda o mesmo teste de pertinência que A6 ensinou — só que duas vezes, guardando apenas os pontos que passam nos dois. Represente a segunda restrição do mesmo jeito: $x + y \ge 4$ se isola em $y \ge -x + 4$ num movimento só (o coeficiente de $y$ já é $1$ — não há nada para dividir). Fronteira contínua, sombreie acima. E desta vez o ponto de teste conta a história oposta: $(0, 0)$ dá $0 \ge 4$ — falso — então o sombreado tem que deixar a origem de fora. Um ponto de teste que falha informa tanto quanto um que passa.

Ponha os dois sombreados numa malha e a resposta se desenha sozinha: a região solução é onde os dois sombreados se empilham — todo ponto da cunha duplamente sombreada passa nos dois testes, infinitos deles.

O resolvedor abre com o sistema de salgadinhos que você acabou de trabalhar. Antes de ler os passos, preveja: qual lado de cada reta sombreia, e $(0,0)$ passa em cada teste? Depois experimente a ficha $2x - y < 4$ — decida qual lado ela sombreia antes de olhar. Se você chutou “abaixo, porque diz menor que”, observe o passo de dividir com atenção. E experimente $y > 2x + 3$ com $y < 2x - 1$: fronteiras paralelas cujos sombreados se viram de costas — a versão de duas variáveis de “sem solução”.

Passeie um ponto pela região

Arraste o ponto de teste direto para baixo pela cunha e saia pelo fundo: exatamente uma marca muda de ✓ para ✗ ao cruzar uma fronteira — a borda de uma região é onde um teste muda de ideia. Depois aperte de costas — sem solução e cace um lugar com dois ✓: não existe. Agora arraste a alça $b$ da reta de cima para baixo da outra reta e veja abrir uma faixa de soluções — “sem solução” nunca foi por causa das inclinações paralelas; é por causa dos sombreados que se viram de costas com um vão. Por fim, aperte um ponto na fronteira: o ponto está exatamente sobre uma reta tracejada, então falha — agora troque esse $\lt$ por um $\le$ e veja o veredito virar sem nenhuma mudança geométrica.

De onde vêm as intuições erradas

“Menor que significa sombrear abaixo” parece certo porque geralmente é — quando o coeficiente de $y$ é positivo. Mas o lado é nomeado pela forma isolada, e isolar $2x - y < 4$ para $y$ significa dividir por $-1$: a regra de inversão de A2 dispara, o $\lt$ vira $\gt$, e o sombreado vai acima. Na dúvida, o ponto de teste nunca mente: ele confere a inequação original, com inversão e tudo.

“Fronteiras paralelas significa sem solução” é um reflexo de A6 que vale a pena desaprender aqui. Sombreados paralelos virados de costas dão sem solução — mas sombreados paralelos que se apontam um para o outro deixam toda uma faixa entre as retas. O paralelismo sozinho não decide nada; as direções do sombreado sim. E repare no que sumiu: nenhum sistema de inequações tem exatamente uma solução para caçar — qualquer região com área guarda infinitos pontos, então a pergunta do SAT é sempre “nenhuma, ou infinitas?”.

Por fim, a cilada da meia-resposta, herdada direto de A6: estar em um único semiplano sombreado não significa nada. Um ponto na borda tracejada de uma região, ou bem no meio de um único sombreado, ainda falha o sistema — pertencer significa passar nos dois testes, sempre.

A única coisa para lembrar

Uma inequação de duas variáveis sombreia meio plano — fronteira contínua ou tracejada pela mesma lógica de aberta/fechada de A2, lado escolhido pela forma isolada (inversão ao dividir por um negativo!), verificada por um ponto de teste. Um sistema guarda só a sobreposição: a região onde todo teste passa. Os pontos ficam dentro ou fora um teste de pertinência por vez — e os casos-limite vivem exatamente sobre as retas de fronteira.

Representar uma inequação: os quatro movimentos

O conjunto solução de um sistema

Rode o sombreado de cada inequação numa malha; a região solução é a sobreposição — os pontos que passam em todos os testes de pertinência ao mesmo tempo.

Ler um ponto contra um sistema

Para decidir se $(x_0, y_0)$ é solução: substitua-o em cada inequação e avalie com exatidão. As duas verdadeiras → dentro da região. Alguma falsa → fora. Se cair exatamente sobre uma fronteira, o tipo de sinal decide: $\le$/$\ge$ conta, $\lt$/$\gt$ não.