Introducción a las variables

Una cuenta que no es un solo número

Tu plan de teléfono cuesta $$20$ al mes, más $$3$ por gigabyte de datos. ¿Cuánto llega la cuenta? No hay una sola respuesta — depende de los datos. Pero el patrón es fijo, y puedes escribirlo una sola vez: $20 + 3g$, donde $g$ representa los gigabytes que uses. Esa letrita es el salto completo al álgebra. Una variable es un marcador de posición para un número que aún no conoces — y una expresión construida alrededor de una no es una pregunta esperando respuesta: es una máquina. Aliméntala con el consumo de cualquier mes y sale la cuenta de ese mes.

La máquina corre con gramática que ya es tuya: $20 + 3g$ obedece exactamente la misma escalera de prioridades que las expresiones de F1 — multiplica $3$ por $g$ primero, luego suma. La única novedad es un espacio en blanco donde antes había un número.

El vocabulario, desde la cuenta del teléfono

Cada pieza de una expresión tiene nombre, y la cuenta los vuelve concretos. Un término es un bloque pegado por multiplicación: $20$ y $3g$ son los dos términos de aquí. Un coeficiente es el número que monta a una variable — el $3$ de $3g$, y significa algo: tres dólares por gigabyte. Una constante es un término sin variable — el $20$, la parte de la cuenta que nunca cambia. Casi todo en esta unidad es ordenar expresiones armadas con estas piezas.

Evaluar — alimenta la máquina

Supón que usaste $4$ gigabytes. Evalúa la expresión sustituyendo el valor y calculando con el orden de operaciones de siempre: $20 + 3(4) = 20 + 12 = 32$ dólares. Eso es todo lo que es “sustituir” — en el momento en que se conoce el valor de la variable, la expresión entera colapsa a un número.

El widget abre con $3x + 2$ y $x = 4$. Predice el resultado y comprueba. Ahora prueba la misma expresión con $x = -1$ — cuidado, el coeficiente multiplica al $-1$ completo — y luego escribe $20 + 3x$ con tu propio “consumo de datos”.

Términos semejantes — solo se cuentan los tipos que coinciden

Simplifica $3x + 2 + 5x - 6$. Los términos con $x$ se cuentan juntos ($3$ equis más $5$ equis son $8x$), las constantes se cuentan juntas ($2 - 6 = -4$), y la respuesta es $8x - 4$. Lo que no puedes hacer es fusionar $8x$ con $-4$ en un solo número — y la picazón de hacerlo igual merece entenderse. La aritmética pasó años entrenándote para que una respuesta terminada sea un solo número, así que $3x + 5$ se siente inconcluso, y "$8x$" rasca esa picazón. Pero los términos con $x$ y las constantes son unidades distintas — $3x$ significa “tres equis”, igual que 3 pulgadas no se funden con 5 millas (el mismo pensamiento de unidades de F3). La mentira sale a la luz en cuanto llega un valor: con $x = 2$, $3x + 5$ es $11$, mientras que $8x$ sería $16$. Una expresión como $8x - 4$ sí es una respuesta terminada — un número en espera.

La propiedad distributiva — multiplica a través

Ya distribuyes de cabeza. Si te piden $7 \times 103$, jamás armarías la multiplicación larga — lo partirías: $7 \times 100$ más $7 \times 3$, o sea $721$. Las letras solo hacen oficial la partición: un número fuera del paréntesis multiplica a cada término de adentro, $a(bx + c) = abx + ac$. La imagen es el área de un rectángulo: altura $a$, ancho partido en $bx$ y $c$ — el área total es la suma de los dos paneles.

La caja abre con $5(2x - 3)$. Predice los dos términos de la respuesta antes de mirar, y luego haz negativo el número de afuera y observa qué le pasa a cada panel del rectángulo.

La trampa del signo negativo

Ese último experimento es el desliz más caro del álgebra temprana. En $-2(x + 4)$, el factor de afuera es el $-2$ completo — signo incluido — y debe alcanzar a cada término: $-2x - 8$, no $-2x + 4$. Detenerse tras el primer término se siente natural porque el ojo lee ”$-2$ por $x$… listo” y el $+4$ parece ya atendido por su propio signo de más. Un detector de mentiras de cinco segundos: sustituye $x = 1$. El original da $-2(5) = -10$; la versión equivocada da $-2 + 4 = 2$; la correcta da $-2 - 8 = -10$ ✓. Ese truco — probar cualquier simplificación con un número pequeño — atrapa casi todos los deslices de álgebra que cometerás en tu vida.

Júntalo todo: distribuye y luego reduce

Los problemas reales mezclan las dos destrezas: distribuye primero cada paréntesis (cuidando los signos) y luego cuenta los términos semejantes. Dale al widget $5(2x - 3) - 2(x + 4)$ y predice solo el coeficiente de $x$ antes de mirar. Después pásale el detector de mentiras al resultado: con $x = 1$, ¿coinciden el original y la versión simplificada?

Lo único que debes recordar

Una variable es un número en espera, y una expresión es una máquina que se convierte en número en cuanto le das uno. Solo los tipos iguales se cuentan juntos; un factor de afuera — signo incluido — alcanza a cada término de adentro; y cuando dudes de si una simplificación es legal, sustituye un número pequeño y deja que la aritmética sea el juez.

El lenguaje del álgebra

Una variable (como $x$) es un marcador de posición para un número. Un término es una sola pieza: $3x$ o $-7$. El número delante de una variable es su coeficiente (en $3x$, el $3$). Un número solo es una constante.

Términos semejantes

Los términos semejantes tienen exactamente la misma parte con variable. $3x$ y $5x$ son semejantes; $3x$ y $5$ no. Solo puedes sumar o restar términos semejantes — cuenta las $x$ juntas, cuenta los números solos juntos.

$3x + 2 + 5x - 6 = 8x - 4$

Evaluar

Para evaluar, reemplaza la variable con un número y calcula. Si $x = 4$: $3x + 2 = 3(4) + 2 = 14$.

La propiedad distributiva

Un número fuera del paréntesis multiplica a cada término de adentro: $a(bx + c) = abx + ac$.

$5(2x - 3) = 5 \cdot 2x - 5 \cdot 3 = 10x - 15$

Juntando ambas cosas, el ejemplo emblemático:

Referencia rápida