Expoentes e raízes

Dobre uma folha de papel

Uma folha de papel tem uns $0.1$ milímetros de espessura. Dobre-a ao meio e vira $0.2$; de novo, $0.4$. Na décima dobra, a pilha já tem $10$ centímetros inteiros. Na dobra $23$ ela passaria de um quilômetro, e lá pela dobra $42$ — se o papel deixasse — a pilha alcançaria a Lua. Nenhuma dobra sozinha parece dramática; o drama é que cada passo multiplica em vez de somar. Dobrar dez vezes não é $10 \times 2$, é $2 \times 2 \times \cdots \times 2$ dez vezes — e a matemática precisa de uma notação para “multiplique isto por si mesmo tantas vezes”.

Um expoente é multiplicação repetida

Você conheceu a notação em F1 como a abreviação mais densa da escada de prioridades: em $2^{4}$, a base ($2$) é o que se multiplica e o expoente ($4$) conta as cópias: $2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. Você a usou desde então — $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ em F2 se apoia nela. Essa leitura de “conta as cópias” é a chave mestra desta unidade: cada regra de expoentes é só o que acontece quando você escreve as cópias por inteiro.

Deduza as regras — não as decore

Multiplique $2^{3} \cdot 2^{4}$ desempacotando os dois: $(2 \cdot 2 \cdot 2)(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$ — sete cópias de $2$ em fila, então a resposta é $2^{7}$. Cópias se empilham, então produtos de mesma base somam expoentes. A divisão passa o mesmo filme ao contrário: $2^{5} \div 2^{2}$ cancela duas cópias, sobrando $2^{3}$ — subtrai. E uma potência de uma potência faz cópias de cópias: $(2^{3})^{2} = 2^{3} \cdot 2^{3} = 2^{6}$ — multiplica.

Dois deslizes explicam a maioria dos erros com expoentes, e ambos vêm de a notação parecer mais simétrica do que é. Primeiro, $2^{3} \cdot 5^{4}$ parece que deveria combinar como $2^{3} \cdot 2^{4}$ — mas escreva as cópias e não há nada para empilhar: três $2$ e quatro $5$ não dividem uma base, então a regra simplesmente não se aplica. Segundo, “somo ou multiplico?” embaça sob pressão de tempo; as cópias decidem na hora. Empilhar filas de cópias soma; copiar a fila inteira multiplica.

Abre com a regra do produto em $2^{3} \cdot 2^{4}$. Antes de trocar para cada uma das outras regras, preveja o expoente que ela vai produzir com os mesmos $3$ e $4$ — a regra do quociente deve dar $-1$ (um número pequeno, não um negativo!), e a potência de potência, $12$.

O padrão por trás dos expoentes zero e negativos

O que poderia significar $2^{0}$ — zero cópias de $2$? A resposta visceral é $0$, porque zero cópias soa a nada. E $2^{-3}$ parece que deveria ser negativo. Os dois instintos se quebram contra um padrão que você pode verificar: diminua o expoente de um em um e o valor se divide pela base a cada passo — $2^{3}=8$, $2^{2}=4$, $2^{1}=2$. A escada não para aí: mais um degrau abaixo obriga $2^{0} = 1$ (divida $2$ por $2$), depois $2^{-1}=\frac12$, $2^{-2}=\frac14$, $2^{-3}=\frac18$. Expoentes zero e negativos não são uma regra nova e arbitrária — são os únicos valores que mantêm intacto o padrão de dividir. Então $a^{0}=1$ para qualquer $a$ diferente de zero, e $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$: não negativo, só pequeno.

A calculadora abre com $2^{-3}$ — confira contra a escada. Depois experimente $7^{0}$, e $10^{-2}$: guarde esse último na cabeça, ele volta na notação científica.

As raízes desfazem as potências

Toda operação ganha seu desfazer mais cedo ou mais tarde. Uma raiz quadrada pergunta “qual número, ao quadrado, dá isto?” — $\sqrt{49} = 7$ porque $7^{2} = 49$. Quando o número não é um quadrado perfeito, ainda dá para desfazer parcialmente usando os átomos de F2: ache o maior fator quadrado perfeito escondido dentro e puxe a raiz dele para a frente. Para $\sqrt{72}$: como $72 = 36 \cdot 2$, parta a raiz — $\sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$, uma resposta exata com a parte quadrada extraída. Raízes cúbicas desfazem o cubo do mesmo jeito, puxando cubos perfeitos: $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Preveja antes de simplificar: qual é o maior quadrado perfeito dentro de $72$? (Não é $4$ — mire mais alto.) Depois experimente $50$, então $48$ — e $47$, que se recusa a simplificar (os átomos dele, $47$, não contêm quadrado nenhum).

Notação científica — domando números enormes e minúsculos

A Terra pesa cerca de $5{,}970{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000$ quilogramas, e uma molécula de água mede uns $0.000000000275$ metros de largura. Os dois números são quase só zeros — a única informação é uma cadeia curta de algarismos e a que distância do ponto decimal ela fica. A notação científica guarda exatamente esses dois dados: $a \times 10^{n}$, onde $a$ mantém um único algarismo diferente de zero antes do ponto e a potência de dez conta os saltos do ponto (os mesmos saltos que você contou em F4). $5300 = 5.3 \times 10^{3}$ — o ponto saltou $3$ para a esquerda. $0.00042 = 4.2 \times 10^{-4}$ — o ponto saltou $4$ para a direita, e aí está o seu expoente negativo significando pequeno, não negativo.

Converta $5300$, depois $0.00042$, e compare cada expoente com a sua contagem de saltos. Depois dê a ela a massa da Terra — digite os algarismos e conte os zeros você primeiro.

A única coisa para lembrar

Um expoente conta cópias numa multiplicação, e cada regra cai sozinha ao escrever as cópias: empilhar cópias soma expoentes, cancelar subtrai, copiar a fila inteira multiplica — só com a mesma base. Descer o expoente divide pela base, e é por isso que $a^{0} = 1$ e expoentes negativos significam pequeno. As raízes rodam a máquina inteira ao contrário.

O que um expoente significa

Um expoente é multiplicação repetida: $2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. A base é o que é multiplicado; o expoente é quantas vezes.

As seis regras dos expoentes

Raízes

Uma raiz quadrada desfaz o quadrado: $\sqrt{49} = 7$ porque $7^{2} = 49$. Uma raiz cúbica desfaz o cubo: $\sqrt[3]{27} = 3$. Para simplificar um radical, tire o maior fator que seja quadrado perfeito (o maior cubo perfeito para uma raiz cúbica): $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Notação científica

Um jeito compacto de escrever números muito grandes ou muito pequenos: $a \times 10^{n}$ onde $a$ tem um algarismo diferente de zero antes do ponto. $5300 = 5.3 \times 10^{3}$; $\ 0.00042 = 4.2 \times 10^{-4}$. Um expoente positivo significa um número grande (o ponto andou para a esquerda); um expoente negativo significa um pequeno (o ponto andou para a direita).