Fatores, múltiplos e primos

Duas perguntas que você já faz

Salsichas vêm em pacotes de $10$ e pães de cachorro-quente em pacotes de $8$. Quantos pacotes de cada você compra para não sobrar nada? Outro dia, outro problema: você tem $24$ biscoitos e $36$ balas para dividir em sacolinhas idênticas sem sobrar nada — qual é o maior número de sacolinhas possível? As duas perguntas são sobre enxergar por dentro os números inteiros: quando eles se repartem em partes iguais, e quando dois padrões de contagem voltam a coincidir. Em F1 você desmontou uma expressão operação por operação; esta unidade desmonta um único número em suas peças multiplicativas.

Um mesmo fato, visto de duas maneiras

Tudo nasce de um único fato de multiplicação. Pegue $3 \times 4 = 12$. Lido de uma ponta: $3$ e $4$ são fatores de $12$ — dividem o número exatamente, sem resto. Lido da outra: $12$ é um múltiplo de $3$ e de $4$ — é uma parada nas suas listas de contagem por saltos. O mesmo fato, duas direções de olhar. Perguntas de fatores olham para dentro de um número; perguntas de múltiplos olham para cima e para fora. Manter essa bússola no rumo é metade desta unidade.

Um par de fatores tem uma forma que dá para ver: é um jeito de arrumar essa quantidade de pontos num retângulo completo — sem buracos, sem sobras.

Antes de olhar com calma, preveja: quantos retângulos o $12$ consegue formar? (Conte $1\times12$, $2\times6$, $3\times4$.) Agora digite $7$ — não existe nada além da linha simples. Depois $36$: ele tem um retângulo que nenhum outro tinha, o quadrado perfeito $6 \times 6$ — e é por isso que $36$ tem uma quantidade ímpar de fatores enquanto quase todo número tem uma quantidade par (fatores vêm em pares, exceto quando um se emparelha consigo mesmo).

Os múltiplos são a direção contrária: comece no número e continue somando, para sempre.

Acenda o $3$ e observe as faixas. Depois experimente o $4$, memorize o padrão e mude para o $6$: as casas acesas nas duas vezes — $12$, $24$, $36$ — são os múltiplos comuns de $4$ e $6$, e o primeiro deles, o $12$, vai importar daqui a um minuto.

Os primos: os átomos da multiplicação

Alguns números se recusam a formar qualquer retângulo além da linha simples. Seus únicos fatores são $1$ e eles mesmos: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ São os primos, e eles têm o papel que os átomos têm na química: todo número inteiro a partir de $2$ é construído multiplicando primos, e — esta é a parte notável — de exatamente uma maneira. $60$ é $2 \times 2 \times 3 \times 5$ não importa como você encontre as peças. Um número com mais de um retângulo é composto: ainda dá para quebrar.

Dois casos especiais merecem a fama. O $2$ é o único primo par — qualquer outro número par já contém um $2$ como fator extra. E o $1$ não é nem primo nem composto: se chamássemos o $1$ de primo, a promessa de “exatamente uma maneira” desabaria, porque $6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3 \dots$ Os matemáticos fecharam essa porta por definição.

Para achar os átomos de um número, quebre-o de qualquer jeito e continue quebrando até restarem só primos — uma árvore de fatores:

Experimente $60$ e confira se bate com os passos acima. Depois preveja as folhas de $64$ antes de digitar — quantos $2$? E então tente $97$: a árvore se recusa a ramificar.

Atalhos de divisibilidade — e por que funcionam

Árvores de fatores precisam de um jeito de enxergar fatores rápido, e é para isso que servem estes atalhos — um fator num relance, sem divisão longa.

A regra da soma dos algarismos merece um segundo olhar, porque parece mágica. Todo $10$ é um $9$ mais $1$, todo $100$ é um $99$ mais $1$ — então $342 = 3(99+1) + 4(9+1) + 2$, que se reagrupa em (uma pilha de noves) $+\ 3 + 4 + 2$. A pilha de noves é divisível por $3$ com certeza, então só a soma dos algarismos, $9$, decide. Não é uma coincidência para decorar; é o sistema de base dez mostrando as costuras.

Antes de conferir o $342$: é par? O $3$ entra? E o $4$? Decida as três respostas e depois olhe. Em seguida experimente o $51$ — ele parece primo, mas a soma dos algarismos o entrega.

MDC e MMC — duas perguntas, duas direções

Agora os problemas do início. As sacolinhas perguntam: qual é o maior número que divide $24$ e $36$ ao mesmo tempo? — o Máximo Divisor Comum. As salsichas perguntam: qual é o primeiro número que tanto o $10$ quanto o $8$ alcançam contando? — o Mínimo Múltiplo Comum ($40$: quatro pacotes de salsicha, cinco de pão).

Por que as pessoas trocam um pelo outro? Porque ambos são “um número que os dois compartilham”, e os nomes são um trava-língua — então a mente pega a palavra que aparecer primeiro. O resgate é a bússola de direções: um divisor comum cabe dentro dos dois números, então o MDC nunca pode passar do menor. Um múltiplo comum contém os dois números, então o MMC nunca pode ficar abaixo do maior. Se o seu “MDC de $24$ e $36$” der $72$, o tamanho sozinho já diz que você respondeu a outra pergunta.

A imagem dos átomos primos torna os dois mecânicos: o MDC são os átomos que os dois números compartilham (a menor potência de cada primo compartilhado), e o MMC é a menor coleção que contém o conjunto completo de cada um (a maior potência de cada primo que aparecer).

Coloque $12$ e $18$ e preveja as duas respostas primeiro ($12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$ — átomos compartilhados $2 \times 3$). Depois tente $8$ e $9$: nenhum primo compartilhado, então o MDC despenca para $1$ e o MMC não tem escolha senão ser o produto completo, $72$.

A única coisa para lembrar

Números inteiros têm um lado de dentro, e os primos são os átomos: cada número é uma única multiplicação de primos. Perguntas de fatores olham para dentro (MDC = os átomos compartilhados); perguntas de múltiplos olham para cima (MMC = a menor pilha de átomos que contém os dois). Na dúvida sobre qual o problema pede, confira a direção: repartir em partes iguais olha para baixo, coincidir olha para cima.

O vocabulário

• Fator — divide exatamente. Fatores de $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
• Múltiplo — o que você obtém multiplicando. Múltiplos de $12$: $12, 24, 36, \dots$
• Primo — exatamente dois fatores, $1$ e ele mesmo: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$   ($2$ é o único primo par; $1$ não é primo.)

Atalhos de divisibilidade (memorize estes)

MDC versus MMC

Para $60$ e $18$: